Brincando e Aprendendo...

domingo, 28 de agosto de 2011

1)Conjuntos numéricos

Conjunto dos Números Naturais

São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}

Conjunto dos Números Inteiros

São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:

Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z₊:

Z₊ = {0,1,2,3,4,5,6, …}

- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z_-:

Z_- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z₊ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*₊:

Z*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Z*₊ = N*

- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z_- excluindo o zero. Representa-se por Z*_-.

Z*_- = {… -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.

Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perimetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 …. Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)

Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.

2)Sequencia numérica

É quando estabelecemos uma ORDEM para os elementos de um conjunto, de tal forma que cada elemento seja associado a uma posição, temos uma seqüência ou sucessão.
Um elemento, ou TERMO, de uma seqüência é indicado por an. Onde n representa a posição ocupada pelo termo.

Ex: a1, a2, a3,..., an

Termo Geral de uma seqüêcia:

an = f(n)

Sequências figuradas

                                ( 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; ...)
                                                                                                       +2 +3 +4 +5

     (1; 3; 6; 10; 16)
                                                                                                             +2+3+4+5+6

3)Termo geral de sequências numéricas

Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem.

Ao representarmos uma seqüência numérica devemos colocar seus elementos entre parênteses. Veja alguns exemplos de seqüências numéricas:

• (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) é uma seqüência de números pares positivos.
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma seqüência de números naturais.
• (10, 20, 30, 40, 50...) é uma seqüência de números múltiplos de 10.
• (10, 15, 20, 30) é uma seqüência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35.

Essas seqüências são separadas em dois tipos:
• Seqüência finita é uma seqüência numérica na qual os elementos têm fim, como por exemplo, a seqüência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35.
• Seqüência infinita é uma seqüência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a seqüência dos números naturais.

Em uma seqüencia numérica qualquer, o primeiro termo é representado por a₁, o segundo termo é a₂, o terceiro a₃ e assim por diante. Em uma seqüência numérica finita desconhecida, o último elemento é representado por an. A letra n determina o número de elementos da seqüência.

(a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n, ... ) seqüência infinita.

(a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n) seqüência finita.

Para obtermos os elementos de uma seqüência é preciso ter uma lei de formação da seqüência. Por exemplo:

Determine os cinco primeiros elementos de uma seqüência tal que an = 10ⁿ + 1, n N*

a1 = 10¹ + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 10² + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 10³ + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 10⁴ + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 10⁵ + 1 = 100000 + 1 = 100001

Portanto, a seqüência será (11, 101, 1001, 10001, 100001).

4)Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante $r\,\!$ . O número $r\,\!$ é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de resto da subtração
Alguns exemplos de progressão aritmética:

$P.a.(1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,...)\,\!$ , em que r=3(por que o numero do r é a diferença entre os números que vão crescendo)\,\!.
$P.a.(-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,...)\,\!$ , em que $r=-2\,\!$ .
$P.a.(6,6,6,6,6,6,6,6...)\,\!$ , em que $r=0\,\!$ .

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,

a n = (a n - 1 + a n + 1) / 2

Fórmula do termo geral de uma P.A

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:
$a_n=a_1 + (n-1).r\,\!$
an é o enésimo termo (termo geral); a1 é o primeiro termo; n é o número de termos presentes na PA; r é a razão.

O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.

O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

$a_2=a_1+r\,\!$

O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

$a_3=a_2+r \,\!$
$a_2=a_1+r\,\!$ , portanto: $a_3=(a_1+r)+r\,\!$
$a_3=a_1+2r\,\!$

O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

$a_4=a_3+r\,\!$
$a_3=a_1+2r\,\!$ , portanto: $a_4=(a_1+2r)+r\,\!$
$a_4=a_1+3r\,\!$

Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

$a_n=a_1+(n-1).r\,\!$ Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:

$a_n = a_m + (n-m).r\,\!$

Soma dos termos de uma P.A

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:
$S_n=\frac{n.(a_1+a_n)}{2},\!$
A soma dos termos entre $a_p\,\!$ e $a_q\,\!$ é:
$S_{(p,q)}=\frac{(q-p+1).(a_p+a_q)}2\,\!$
Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor.

sábado, 27 de agosto de 2011

5)Progressão Geométrica (P.G)

Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a _n, ... ) , onde a₁ é o primeiro termo, e a_n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a₂ = a₁ . q
a₃ = a₂ . q = (a₁ . q) . q = a₁ . q²a₄ = a₃ . q = (a₁ . q²) . q = a₁ . q³................................................
................................................

Infere-se (deduz-se) que: a_n = a₁ . q^n-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: a_j = a_k . q^j-k

^{Soma dos termos de uma P.G infinita}

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando

| q | < 1

. Sua soma é:

$S_\infty=\sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1}=\frac{a_1}{1-q}$

Agora, se $q \geq 1$ e

a 1 > 0

então sua soma é mais infinito e se $q \geq 1$ e

a 1 < 0

, sua soma é menos infinito.

$S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\ +\infty, & q\geq 1, a_1>0\\ -\infty, & q\geq 1, a_1<0\\ 0, & a_1=0; \end{array}\right.$

Soma dos termos de uma P.G finita

Podemos calcular o produto de n termos de uma P. G. finita por meio da seguinte fórmula:

Aplicação

Determinar o produto dos termos da P. G.

(10^-3, 10^-2, 10^-1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵).

Solução:

Como todos os fatores são positivos, o produto é positivo. O produto será determinado pela

6)Aplicações da P.G e da P.G á Matemática Financeira.

A matemática financeira tem por função estudar as várias formas de evolução do valor do dinheiro no tempo. A partir dela podemos gerar análise e comparações que nos permitam definir as melhores alternativas para a aplicação ou obtenção de recursos financeiros.

Juros Simples

Vários termos são utilizados quando trabalhamos nesta área. Os principais deles são:
Capital: Capital ou principal é o valor monetário disponível em um momento.
Juros: É o preço do dinheiro. Ao se tomar uma certa quantia emprestada por um determinado período de tempo, seria o valor do aluguel a ser pago por este empréstimo.
Taxa de juros: É o valor percentual que será aplicado sobre a quantia devida, para a apuração dos juros.
Período: É o período de tempo da aplicação.
Montante: Montante ou capital final é a soma do principal com os juros resultantes da operação.
Além destes cinco termos principais, ainda existe o regime de capitalização, que é classificado em capitalização simples e capitalização composta.
Na capitalização simples somente o valor principal rende juros, ou seja, os juros são calculados aplicando-se a taxa de juros sempre sobre o valor do capital inicial, ao longo de todo o período. Em outras palavras, não é gerado juro sobre juro.
Na capitalização composta, os juros produzidos ao final de um período são integrados ao cálculo do período seguinte, gerando assim juro sobre juro.
É importante frisar que a taxa de juros e o período devem estar na mesma unidade de tempo. Se a taxa de juros for ao mês, por exemplo, o período deverá estar em meses.

Imagine que você tome emprestado, a juro simples, a importância de R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% ao mês. Qual será o valor que você deverá pagar como juro, decorrido este período de tempo? Qual o montante a ser pago?

Embora você possa se utilizar de fórmulas para a resolução deste problema, o ideal é que você consiga abstrair a ideia por trás do mesmo.

Ora, se no cálculo de juros simples, o juro de cada período é sempre calculado sobre o valor principal, então basta a nós aplicarmos a taxa percentual ao valor principal para sabermos o valor do juro em cada período e em se tendo este valor, multiplicá-lo pelo número de períodos, para obtermos o valor do juro total. Viu como é simples?

Além disto, o montante será o valor do juro total acrescentado do valor principal.

Vamos aos cálculos:

O valor do juro em cada período será:

Ou seja ao final de cada período, além dos cinco mil reais emprestados, você estará devendo mais R$ 250,00 correspondente ao juro do período em questão.

Compreendida a esquemática por trás do cálculo dos juros, do explicado acima, podemos deduzir várias fórmulas.

Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do juro iremos utilizar a fórmula:

Quando tivermos o valor do juro, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do valor do capital utilizaremos a fórmula:

Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e o tempo da aplicação, para a obtenção da taxa de juros utilizaremos a fórmula:

Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e a taxa de juros, para a obtenção do tempo da aplicação iremos utilizar a fórmula:

Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:

As suas variantes são:

Utilizando-se destas fórmulas, o problema acima pode ser resolvido da seguinte forma:

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

A calcular temos:

j: O valor do juro.
M: O valor do montante.

Inicialmente utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Portanto:

Ou seja, uma importância de R$ 5.000,00 emprestada a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% a.m. resultaria em juros totais de R$ 750,00 e em um montante de R$ 5.750,00 como já havíamos apurado anteriormente.

Juros Compostos

Alguém toma R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros de 1% a.m., qual é o valor total que deverá ser pago após 100 meses?

Os dados para o cálculo dos juros são:

Na modalidade de juros simples teríamos:

Tópico relacionadoCalculando o valor da entrada para financiar a compra do seu carro a partir do valor da prestação

Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:

Substituindo j pela fórmula do juro acima:

Substituindo o valor dos termos:

Ou seja, tomaríamos cem mil e pagaríamos duzentos mil. Cem mil de juros e mais cem mil referentes ao valor principal.

Você acha muito? Veja então o cálculo na modalidade de juro composto:

Os dados para o cálculo seriam os mesmos:

Abaixo temos a fórmula para o cálculo na modalidade de juro composto:

Substituindo as variáveis:

Isto é, pagaríamos um montante de R$ 270.481,38. A diferença de R$ 70.481,38 entre o cálculo realizado na modalidade juros simples e o cálculo na modalidade de juros compostos se refere aos juros que foram cobrados sobre os próprios juros apurados no período.

Na modalidade de juros compostos pagaríamos R$ 170.481,38 de juros, bem mais que os R$ 100.000,00 da modalidade de juros simples. Esta diferença será percentualmente maior, quanto maior forem a taxa de juros e o período da operação.

Apenas a título de exemplo, os mesmos R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros de 5% a.m., após 240 meses produzirão um juros total de R$ 1.200.000,00 na modalidade simples e de R$ 12.173.857.374,22 na modalidade composta.