4)Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante . O número é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de resto da subtração
Alguns exemplos de progressão aritmética:

• , em que r=3(por que o numero do r é a diferença entre os números que vão crescendo)\,\!.
• , em que .
• , em que .

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, a_n = (a_{n − 1} + a_{n + 1}) / 2.

Fórmula do termo geral de uma P.A

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

an é o enésimo termo (termo geral); a1 é o primeiro termo; n é o número de termos presentes na PA; r é a razão.

• O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.

• O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

• O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

, portanto:

• O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

, portanto:

• Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:

Soma dos termos de uma P.A

 

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

A soma dos termos entre e é:

Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor.